数学史微缩

历史并非那么整齐有序，关于数字起源的探索，是一段通向迷雾宠罩的人类生活与文化起源的艰难旅程。

我们现在使用的十进制，是一种以10为基数的位值制。一个数中，数字的位置决定它的值。

早期数学大部分是为满足贸易及农业的需要而发展起来的，但也与宗教仪式及天体运行有关联。

勾股定理的存在，使得我们可以比较在不同文化背景下，古代数学家处理数学问题的风格及他们所关注的问题。

从古到今《几何原本》都是最有影响的一本教科书。它囊括了初等平面几何、数论，以及不可比量和立体几何。

在中国数学史上，《九章算术》一直保持着重要的地位。《九章算术》包括246个问题。每个问题由陈述、数值答案及解题方法三个部分组成。这里没有理论解释和证明。大部分问题来自现实生活。例如，土地分割、财物分配、大型建筑物的营造等。

印度数学的鼎盛时期，始于第一个千年的中叶。印度的大部分地区被皇帝笈多所统治。他鼓励人们学习科学和艺术。

阿拉伯人综合和发展了前人的研究，并诱发了基础性的研究，特别是代数学及三角学的基础研究。虽然代数符号论来自欧洲，但代数的思想却应归功于阿拉伯数学。尽管早期的数学通常是用代数来解释的，但明确认识到几何问题可以用代数来表示，几何方法可以转化为代数算法，以及代数方法可以超过原有的几何方法并向前进一步发展等等，这些思想都是阿拉伯人的贡献。

罗马时代设置了七艺（七门基础课）：文法、修辞、逻辑、几何、算术、天文以及音乐。由所设课程可以看出，数学是这些课程的主要组成部分。在科学领域里，我们应该寻求符合事实的最简解。

许多文献都描绘了被称为新一代欧洲人觉醒时期的意大利文艺复兴。新一代欧洲人对古典文化的研究，不仅仅是为了复古，而是希望把这一研究与新体系、新思想和新研究方向结合起来。艺术和几何学的结合，特别是透视法的使用，充分体现了这一点。没有几何知识，任何人都不可能成为真正的艺术家。

16世纪的欧洲充满了机遇和希望。尊重传统与教养及个人自由的意大利文艺复兴和人文主义传统，取得了丰硕的成果。印刷术和雕刻技术的发明，使新思想比以往任何时候都得到了更加广泛的传播。同时，欧洲人还注视着外部的世界。海上探险、远征和贸易等活动都在不断增加。航海和贸易的需求，促使随后两个世纪的数学得以迅猛发展：航海需要精确的航海图、天文图，贸易则需要有效的会计学。

如果我们要解决一个问题，我们首先假定解已经得到了，并且为解的结构中需要的每个量命名，无论是未知量还是已知量。平等对待未知量和已知量。然后，我们必须想方设法建立量和量之间的自然关系，直到我们发现用两种表达式表示同一个量。因为这两个表达式表示同一个量，所以可以建立一个等式。

对于循规蹈矩的宇宙的认识，沉默寡言的哥白尼点燃了一条缓慢燃烧的导火索，而最终引发了一场大爆炸。数学在这场革命中起了至关重要的作用：精确的数学模型将告诉我们这个世界的奥秘。

确定一个物体的重心对于决定物体的稳定性是非常重要的。物体的稳定性显然与建筑学及造船业关系密切。使用不可分量的方法比几何方法更容易得到正确的结果。数学不能再回避如何处理无穷和无穷小这些数学概念的问题了。获得收敛级数的方法是非常美妙的。

把球形的地球投影到平面上往往要产生一些失真。绘图员最关心的是确定哪些因素使失真最厉害，哪些因素使失真最少。等角投影可以减少角和形状上的失真；等积投影可以保持相对的面积；等距投影可以保持相对距离。

16世纪，数学家们在偶然中发现了复数。到了18世纪，复数系作为实数的扩张而被建立起来。当一个试图把读者从一条他人走过的路带向一个新的领域时，的确需要清晰的描述。

黎曼定义几何学为关于流行的一门学科。流行是带有坐标系以及定义了两点间最短距离度量公式的任意维的有界或无界空间（包括无穷维空间）。对于黎曼来说，几何本质上是由一个n维有序数组的集合与该集合上特定的规则组成。他关于空间的观念推广到几乎不占地方，而变量间的任意关系，都可认为是“空间”。黎曼发明了现在被所有数学家使用的数学工具。他的度量曲率空间的一般研究，为广义相对论铺平了道路。我们生活的空间不再是欧氏空间，但是我们现在已经有了探索宇宙的真正几何性质的数学工具。

不仅代数学脱离了几何学的束缚，而且几何学也从空间的概念中解放出来。此后，数学将朝沿着交织在一起的不同的方向发展。